[AI]행렬곱의 근원

행렬곱을 가로줄 × 세로줄로 하는 근원은 한마디로 이거다.

행렬은 원래 “숫자표”가 아니라, 어떤 값을 다른 값으로 바꾸는 계산법, 즉 선형변환의 압축표였고, 행렬곱은 “계산법을 연달아 적용한 결과”를 한 번에 표현하려고 만든 규칙이다.

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1. 역사적으로 먼저 있었던 것: “숫자표로 연립방정식 풀기”

행렬 비슷한 것은 아주 오래전부터 있었다. 고대 중국의 『구장산술』에서는 여러 미지수가 들어간 연립방정식을 풀기 위해 숫자들을 네모난 표에 놓고 조작했다. 현대식으로 말하면 행렬 계산과 거의 같은 방식이었다. 다만 그때는 “행렬곱”이라는 현대적 개념보다는 계수들을 표로 정리해서 없애가며 푸는 방식이었다. MAA 설명에 따르면 중국의 계산판은 숫자의 행과 열을 저장·조작하는 데 쓰였고, 계수들을 열에 저장한 뒤 열끼리 곱하거나 더하고 빼며 연립방정식을 풀었다. (Mathematical Association of America)

즉 출발점은 이거다.

“복잡한 계산을 숫자 표로 정리하면 편하다.”

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2. 그런데 진짜 행렬곱의 핵심은 “변환을 이어 붙이기”다

예를 들어 어떤 입력값 x, y가 있다고 하자.

u = 2x + 3y

v = 4x + 5y

 

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3. 이제 두 번째 계산법 A를 또 적용해보자

이번에는 u, v를 가지고 최종 결과 r, s를 만든다고 하자.

즉 B를 먼저 하고, 그다음 A를 한다.

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4. 그럼 r은 x, y로 직접 어떻게 표현될까?

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5. 왜 하필 “가로줄 × 세로줄”이냐?

이유는 아주 단순하다.

A의 첫 번째 가로줄:

가로줄 × 세로줄은 “중간 단계를 거치는 모든 경로의 영향력을 곱해서 더하는 방식”이다.

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6. 그래서 행렬곱은 “표끼리 곱한다”가 아니라 “계산법을 합친다”다

두 행렬을 그냥 칸별로 곱하면 편해 보인다.

이런 곱도 실제로 있다. 아다마르 곱이라고 한다. 하지만 이것은 “계산법을 이어 붙이는 것”을 표현하지 못한다.

반면 행렬곱은:

 

한 단계짜리 계산법으로 압축된 것이다.

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7. 역사적으로 이 규칙이 굳어진 이유

현대적 행렬대수는 19세기에 본격적으로 정리되었다. J. J. Sylvester가 “matrix”라는 말을 숫자의 배열 이름으로 도입했고, Arthur Cayley가 선형변환의 합성을 연구하면서 행렬곱을 체계적으로 다뤘다. Cayley는 두 선형변환을 합성했을 때 그 합성변환의 계수표가 두 행렬의 곱으로 나오도록 행렬곱을 정의했다는 설명이 남아 있다. (Convex Optimization)

또 행렬곱 규칙 자체는 보통 Jacques Philippe Marie Binet가 1812년에 선형사상의 합성을 표현하기 위해 처음 기술한 것으로 설명된다. (위키백과)

그러니까 역사적 근원은 이거다.

“숫자표를 곱하고 싶어서 만든 규칙”이 아니라,
“변환 A를 하고 변환 B를 했을 때, 그 전체 변환을 하나의 표로 다시 쓰려면 어떤 계산을 해야 하는가?”
를 따지다 보니 가로줄×세로줄 규칙이 나온 것이다.

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8. 한 문장으로 정리

행렬곱을 가로세로로 하는 이유는 임의로 정한 게 아니라,

앞 행렬의 한 가로줄은 ‘최종 결과 하나를 만드는 레시피’이고, 뒤 행렬의 한 세로줄은 ‘원래 입력 하나가 중간값들에 들어가는 방식’이기 때문에, 둘을 곱해 더하면 “그 입력이 그 최종 결과에 주는 총 영향”이 나오기 때문이다.

그래서 행렬곱은 사실상 이런 계산이다.

“중간 단계를 거치는 모든 경로의 영향력을 곱해서 합산하는 규칙”

이게 가로줄×세로줄의 가장 깊은 근원이다.